[분석 방법] 자료포락분석(Data Envelopment Analysis, DEA)

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자료포락분석이란?

자료포락분석 (Data Envelopment Analysis, DEA)은 '생산되는 단위(unit)'의 효율성 혹은 성과를 다차원적으로 측정하는 분석방법입니다. '생산되는 단위'들은 의사결정단위 (Decision Making Unit, DMU)로 표기할 수 있습니다. 

DMU란 DEA의 결과를 도출하기 위해 필요로하는 의사결정이 이루어질 수 있도록 하는 하나의 객체입니다. 다시말해, 애완용품 산업에 대한 DEA 분석을 한다고 가정한다면, 애완용품을 생산하는 A, B라는 공장(DMU A, DMU B)의 데이터들로 DEA의 결과가 도출됩니다.

DEA의 장점 및 단점

가장 큰 장점은 다양한 데이터 속에서 하나의 결과물로 단순화시킬 수 있다는 점입니다. DEA는 다양한 투입들과 산출들을 하나의 효율성 점수로 산출이 가능합니다. 또한, 다수의 DMU가 있을 경우, 그 중 가장 효율적인 DMU를 관찰자가 직관적으로 식별하기에 매우 좋은 방법론입니다.

반면에 DEA는 개별 요인들의 효율성이나 특성을 분석자가 식별하기에 번거롭다는 단점이 있습니다. DMU 중에는 DMU 모집단군의 평균에서 꽤나 벗어나는 특이한 경우도 있을 것입니다. 그러나 DEA는 모든 DMU의 효율성을 종합적으로 평가하므로, 특이한 경우를 명확히 식별하기에 어려울수도 있습니다. 하지만 여전히 DEA는 DMU 전체의 효율성을 통합적으로 점수화하는 방법론으로서 연구대상에 대한 설명력이 높다고 할 수 있습니다.

DEA 활용 방법

DEA 활용방법에 앞서서 DEA의 결과를 어떻게 해석하는지를 먼저 짚고가겠습니다. 예를들어 총 2개의 DMU가 존재하고 2개의 DMU를 DMU1과 DMU2로 구분할 때, DMU1이 DMU2보다 비교 혹은 절대 우위에 있다고 가정해봅니다. 그렇다면, 비교우위 혹은 절대우위에 있는 DMU1은 DMU2보다 더 효율적이라 할 수 있을 것입니다. 이 예시를 좀더 산술적인 방법으로 설명하기 위해서는 선형최적화 문제 (Linear Opimization Problem)를 공부하면 더 이해가 더 수월해질 겁니다. 

일단, 선형최적화 문제를 이해하고 있다는 가정하에서 DEA 활용 방법을 한마디로 정의한다면, N명의 생산자들을 N개의 선형 최적화 문제로 적용하여 분석을 수행한다라고 정리할 수 있습니다. 이런 방법을 이용하여 산출된 DEA 결과는 소위 '최고 (Best)*'의 DMU와 다른 DMU들을 비교해서 최종적으로 어떤 것이 가장 효율적인가를 판정할 수 있습니다. 

*앞서 언급한 '최고'는 '경험적 프런티어'라 지칭하기도 하기도 합니다. 

경험적 프런티어는 어떠한 DMU A가 X의 투입으로 Y를 생산할 수 있는 능력이 있고 이를 가장 효율적이라고 가정할때, 만약 DMU B 역시 동일한 생산 능력이 있을 경우 이 두 DMU를 모두 가장 효율적이라고 지칭합니다.

DMU	Apple	Banana	Citrus	Dragon fruit	Egg
노동력(Labor)	100	80	60	40	100
자본(Kapital)	20	40	50	90	120
산출(Output)	$4,000	$4,000	$4,000	$4,000	$3,000

위 표를 참고하여 DEA의 "최고" DMU 선택에 대한 예를들면 다음과 같이 표현할 수있다. 통조림회사에서 4가지의 식품을 통조림으로 가공하여 수익을 내고자 한다. 각각의 상품들은 개별 기계 즉, DMU를 통하여 생산 및 이익을 낸다. 이때, 노동력과 자본은 투입 (Input) 이다.  사과(Apple), 바나나 (Banana), 시트러스(Citrus), 용과 (Dragon fruit)는 다른 수준의 노동력과 자본으로 동일한 수익을 산출한다. 달걀(Egg)의 산출은 다른 DMU에 비하여 상대적으로 적다. DEA의 관점으로 볼때, 결과적으로 사과, 바나나, 그리고 시트러스, 그리고 용과는 달걀에 비하여 높은 효율성을 갖고 있다. 위 표를 그래프에 표기하면 아래와 같으며, 파란선은 경험적 프런티어이며, 붉은선은 비효율의 정도를 의미한다. 계란은 비효율을 감소시키기 위해서는 투입요소들을 조절할 필요가 있다.

Fitted by Excel

그러므로 달걀의 효율성을 개선하기 위해서는 (사과, 바나나, 시트러스, 용과 수준에 도달하기 위하여) 노동력 혹은 자본의 변경이 필요하다. 이를 DEA에서는 사과, 바나나, 시트러스가 용과와 달걀에 비하여 점수(socre)가 낮다고 표현하다. 

자료포락분석과 선형최적화 문제

DMU의 관점에서 점수는 가중치가 반영된 산출의 총합(Weighted sum of outputs)을 가중치가 반영된 투입의 총합(Weighted sum of intputs)으로 나누어 산출할 수 있다. 이때, 모든 점수는 1보다 작거나 같아햐 한다. 위 내용은 아래 수식과 같이 표현할 수 있다.

I used the CodeCogs: Online LaTeX Equation Editor, https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

만약 하나 혹은 다수의 DMU가 점수 1에 도달한다면 해당 DMU의 효율성을 초월할 수 있는 다른 DMU가 존재할 수 었다는 의미이다. DEA의 선형최적화문제의 관점에서 살펴보자. 

I used the CodeCogs: Online LaTeX Equation Editor, https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

Score(K)는 DMU의 점수로서 최대치인 1을, Score(V)는 점수가 1 이하인 DMU들의 점수를, u는 투입 혹은 산출의 종류를, v는 DMU의 종류를, no는 산출의 수를, ni는 투입의 수를, WO는 가중치가 반영된 산출을, O는 산출을, WI는 가중치가 반영된 투입을, 그리고 I는 투입을 의미한다. 위 수식을 말로 표현하면 Score(V)는 u번째의 WO와 u번째의 DMU v의 산출 총합에 u번째의 WI와 u번째의 DMU v의 투입 총합을 나누었다고 할 수 있다. 다시말해 V라는 회사가 자신의 산출과 투입의 비율로 최고 효율을 나타내는 K라는 회사와 비교한다고 간략하게 설명할 수 있다. 비선형적인 모양을 보이는 위 모형을 선형적인 모형으로 전환하려면 수식 Score(V)를 아래와 같이 표현하면 된다.

<예제>

Input & Output/ DMU	Input 1      (Cost, $)	Input 2      (Sugar, kg)	Output 1   (Taste Score)	Output 2 (Day of Stock)
Apple	8,939	55	25.2	6
Banana	8,625	49	28.2	5
Citrus	10,813	49	29.4	8
Dragon fruit	10,638	51	26.4	11
Egg	6,240	51	27.2	7
Fig	4,719	41	25.5	12

통조림 회사가 있다. 각각의 회사는 사과, 바나나, 시트러스, 용과, 달걀, 그리고 무화과 통조림을 생산한다. 투입되는 것은 비용, 설탕이 있고 산출되는것은 맛에대한 평가, 재고품으로 남는 통조림의 재고 일수이다. 이 예제에서는 각각을 DMU a, b, c, d, e, f 라고 표현하려한다. 가중치는 주어져있다. (아래 엑셀 문제 및 답안 참고)

1) 각 DMU의 가중된 산출 및 투입의 총합을 구하시오.

2) 어느 DMU가 효율적이고 비효율적인가?

엑셀 문제 및 답안 (공유 요청을 일일이 파악하기 어렵기에 공유 요청 후 본 게시글에 공유 요청 댓글 부탁드립니다!)

https://drive.google.com/file/d/1OijL1k-lwni1VWgXQjdgDNddzCaL-JlK/view?usp=sharing

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